首先我们证明一个引理:
引理1 任意实系数矩阵A满足rank(A'A)=rank(A)
证明:
考察线性方程组A'Ax=0和Ax=0的解
显然Ax=0的解必是A'Ax=0的解
取A'Ax=0的一个解y
则A'Ay=0从而(Ay)'(Ay)=y'A'Ay=0
Ay是一个实系数向量,假设其各分量为a1,…,an,
那么0=(Ay)'(Ay)=a1²+…+an²
从而a1=…=an=0
于是Ay=0
由此A'Ax=0与Ax=0具有完全相同的解
于是rank(A'A)=rank(A),证毕
若A=0,显然
rank(A,BA;0,A'A)=0=2rank(A)
若A≠0
2rankA
=rank(A)+rank(A'A)
≤rank(A,BA;0,A'A)
≤rank(A,BA)+rank(0,A'A)
=rankA(I,B)+rank(A'A)
≤2rankA
由此rank(A,BA;0,A'A)=2rank(A)