来自3blue1brown

我们知道我们看见一个东西的亮度与距离的平方成反比。这是因为亮度的本质是接收到光子的数量。如下图。若o点，在发光。那么在这整个角度内光子数量是不变的。也就是说o d的长度是ob的几倍CD的长度就要是ab的几倍。这样才能保证接住所有的光子让亮度一样。而在三维世界中，接触光子的是一个面。也就是说实际上。这两个面要扩大到原来的o d比ob的平方才可以让原来的光子数量一样。也就是亮度一样。如果接触面一样的话。那么很显然。你接触到的光子也就是亮度会变成原来的o d比 o b的平方分之一。

在数轴上。如果我们站在原点。每一个正整数都有一束光。假设每一处发出的光亮度为一。根据亮度和距离的平方成反比，我们接收到的每个正整数发出来的亮度之和就是我们要求的目标。

在这里，我们要补充一个定理。就是倒数勾股定理，具体内容和证明方式如下图。

此时我们画一个圆。它直径和圆的交点设为ab。设这个圆的周长为二。b点在发光。发出的亮度为一。则我们在a点看到b点的亮度为四分之派的平方。证明如下。

我们再以b点为圆心ab为半径画一个圆。作CD垂直于ab交那个圆于CD2点。圆里面有一个性质。若圆的内接三角形有一条边在直径上。那么这必然是一个直角三角形。这个非常好证，我就不说了。那么根据刚才的推论，我们从a点看到的c点和d点的亮度加起来就是b点的亮度。并且由于圆的周长和直径的长度成正比。所以弧AD的长也就等于弧ab的长就是一。这个也很好就不说了。

延长ab交圆b于点i，以a为圆心AI为半径作一个圆。连接间ci di并延长使id交原I于eh ，ci交圆i与gf。同理可得，我们从a点看到的e和h的亮度相加等于点d的亮度。f和g的亮度相加等于点c的亮度。而我们刚才又说了，c和d的亮度相加等于b的亮度。也就是说，这四个点的亮度相加仍然等于四分之派的平方。

然后我们像刚才那样的做法一样不停的做圆不停的做圆，和刚才同理。每个圆上每两个点之间的弧长都是二。并且亮度和都为四分之派的平方。

现在让我们想象。如果这个圆变成了无限大。那么圆的弧其实就变平了。也就是说，我们就可以把它看作数轴来看待了。我们从a点处来看这些点的话，所有点的亮度和仍然是四分之派的平方。并且不难看出。这些亮度和其实是全体奇数的平方的倒数和。即包括正的也包括负的。也就是说，全体正奇数平方的倒数和为八分之派的平方。剩下的步骤我用图片来表达

你觉得球体和桌子的接触面真的只有一个点嘛

救命！初二看不懂了，下次来认真看看