超复数是万物中基本对称性的体现和抽象。、
基本对称变换有二："交换 or 共轭"算子f，"交换 and 共轭"算子e。
对于二元结构(a,b)的对称变换的基本操作有两种--交换：(a,b)→(b,a)，共轭(1/2取反)：(a,b) → (a,-b)。
可以定义交换算子g: (a,b)*g=(b,a) , 以及共轭算子h: (a,b)*h=(a,-b)。
因为(a,b) *g*g=(a,b) *h*h=(a,b), 可知有g^2=h^2=1。
由于g^2=h^2=1,(两个算子g和h的图像是一致的, ) 可以把两个算子合称为"交换 or 共轭"算子f。
对于算子f,有f^2=1,也可以把f称为双曲算子。
我们再定义"交换 and 共轭"算子e为交换算子g和共轭算子h的复合，
即(a,b)*e=(a,b)*g*h=(b,a)*h=(b,-a)。因为(a,b) *e*e=(b,-a) *e=(-a,-b), 可知有e^2=-1,也可以把e称为圆算子或旋转算子。
而虚数单元i本质上就是上述的"交换 and 共轭"算子e。它的实在意义就是多元结构的基本变换操作之一。
对于二元的数，我们定义为Z=a+bζ， （a,b为实数，ζ为虚单元）
当ζ^2=-1，令e=ζ，即Z=a+b*e我们称它为复数，对应的平面叫复平面，对于|Z|^2=a^2+b^2=1的Z的集合我们成为E型单位圆
当ζ^2=1，令f=ζ，即Z=a+b*f我们称它为双曲复数（简称双数，也有称为二重复数），对应的平面叫双曲复平面，对于|Z|^2=a^2-b^2=1的Z的集合我们成为F型单位圆
当ζ=√2/2*(e+f)，则ζ^2=0,令k=ζ，即Z=a+b*k我们称它为抛物复数（也有称为对偶数），对应的平面叫抛物复平面，对于|Z|^2=a^2=1的Z的集合我们成为k型单位圆
当e=ζ，e^z=e^a*(cosθ+e*sinθ)
当f=ζ，e^z=e^a*(coshθ+f*sinhθ)
当k=ζ，e^z=e^a*(1+θ*k)
三种二元复数的单位圆对应三种变换：旋转变换，双曲旋转变换（洛伦兹变换），抛物旋转变换（伽利略变换）
另外双曲旋转可以认为是虚角度旋转，旋转也可以认为是虚快度双曲旋转。而物理上的洛伦兹变换就是数学上的双曲旋转变换。
数系扩张：
先不讨论抛物复数，二元的超复数便有两种：
复数C=a+b*e , , （e旋转算子单元）
双曲复数Z=a+b*f , , （f双曲变换算子单元）
超复数：由复数和双曲复数互相叠套形成的数系扩张
超复数/数系的阶：可交换可结合的超复数/交换代数称为一阶超复数/代数；非交换可结合的超复数/结合代数称为二阶超复数/代数，非交换非结合满足交错性的超复数/交错代数称为三阶超复数/代数；。。。
四元的超复数Q=a+bζ1+cζ2+dζ3便有2×2=4种
分别为
Q1=a+b*e1+c*e2+d*e3， ,（e3=e1*e2实维之间为对等关系，类比空间两维度间的系）
Q2=a+b*e1+c*e2+d*f0， ,（f0=e1*e2实维之间为对偶关系，类比时间和空间维度间的关系）
Q3=a+b*e0+c*f1+d*f2， ,（e0=f1*f2相维之间为对等关系，类比电磁势之间的关系）
Q4=a+b*f1+c*f2+d*f3 . ,
Q1四元数和Q3分裂四元数为二阶的结合代数，Q2双复数和Q4双曲四元数为一阶的交换代数。