推广:已知 E,F 分别在 AC,AB 上且满足 BFPD,CEPD 分别共圆. 设 AD 与 (DEF) 再次交于 X,(BXF) 与 (CXE) 再次交于 Y,则 DP 与 XY 的交点在 EF 上.
这个事实上还是19IMO P6那个推广(3069)的特例,这里先沿用一下3069的引理:
回到原推广,设 AE 与 (DEF) 再次交于 E',AF 与 (DEF) 再次于 F',(AE'F') 与 (ABC) 再次交于 Mi,AMi 与 EF 交于 W,则 ∠FEE'=∠FF'E'=∠AMiE',得 EE'MiW 共圆,从而 AX·AD=AE·AE'=AW·AMi,故 XDWMi 共圆.
设 N 在外接圆上且满足 AN 平行于 EF,MiX 与外接圆再次交于 Lx,MiD 与外接圆再次交于 Ld,(WXD) 与 EF 再次交于 L,则 ∠XLW=∠XMiA=∠LxNA,由 AN 平行于 EF 得 XL 平行于 LxN,结合引理知 L 在 XY 上. 同理,L 在 PD 上,Q.E.D.