这是否定的。我们可以多加几个条件来构造这样的A, B。
首先,令 x 属于 A 当且仅当 -x 属于A。
这样,我们可以把 B 视为正实数的子集,B*B 和 B 是正实数的分划。
然后,正实数上的乘法与实数上的加法同构,我们用 x 代替 exp(x)。即要找实数子集B,使得 B+B 和 B 是实数的分划。
我们考虑实数作为有理线性空间的基 G。每个基的排列 sigma: G->G 导出实数的有理线性变换 V_sigma: R->R。我们令 x 属于 B 当且仅当每个 V_sigma(x) 属于 B。
有了这些附加条件之后,我们终于只有可数个元素需要考虑啦。每个元素可以用一个有限长度的有理数序列表示。定义两个序列的加法,为经过补充 0 元素,重排,逐项相加,再重排,得到的有限个结果的集。设这个集为 X,X 中两个元素 x, y 的加法为 X 的有限子集。条件为找 X 的子集 B 使得 {b1+b2 | b1, b2 属于 B} 的并集(即B+B)等于 B 的补集。
X 有个 2-进范数 v2。定义为 v2(x) 是 x 所有非零项中的 2 的幂次的最小值,可正可负。特别定义 v2(0) 为正无穷。
把 X 的元素排成一列 x1, x2, ..., 我们从空集开始逐个往 B 里添加元素,使得每个不在 B 中的 xi 依次被放进 B+B 里,且保持 B+B 与 B 不交。
用归纳法,假设我们已经选了有限个点进入 B 使得 B+B 与 B 不交,并且 B+B 并 B 包含 x1, x2, .., xn,且 B 不包含 0。现在我们考虑一个不在 B 中的 x。我们想要找到 y, z 使得 x 属于 y+z ,且 y+z, y+y, z+z, y+B, z+B 均与 B 和 {y, z} 不交。这是可以做到的,假设 B 及 B-B 及B+x 中的所有元素的 v2 范数的最小值大于 -N(N>0)。我们可以找到 y, z,使得 x 属于 y+z,且 y 的每个非零项的 2 的幂次都不相等且小于 min(-N, v2(x))-10。那么在 y+z 中除了 x 以外的元素的 v2 范数都小于-N。y+y, z+z 中的元素的 v2 范数也都小于 -N。y, z 也不在 B-B 中。同时非零项幂次不等保证了 y+z, y+y, z+z 与 {y, z} 不交。B 不包含 0 且非零项幂次不等保证了 y 不属于 y+b,z 不属于 z+b。最后若 z 属于 y+b,或者 y 属于 z+b,那么由于幂次不等,加法必须是与 x 属于 y+z 类似的逐项加法,这就有 {2y, 2z} 与 B+x 相交,这也不行。将 y, z 加入 B ,就有了 B+B 与 B 不交,并且 B+B 并 B 包含 x1, x2, .., xn。
这个过程结束之后把每一步的 B 并起来得到的 B ,满足 B+B 与 B 不交,并且 B+B 并 B 等于 X。