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一组类Eisenstein级数的值
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一组类Eisenstein级数的值
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首先,利用基本的级数判别法可知,对于任何整数n,这一级数均收敛。对于正奇数和一半的负奇数,级数具有封闭解。类似问题在小吧主
@神琦冰河
的精品贴中,以及级数竞赛中有所涉及,现进行一些总结。
重庆蒙以教育科技有限公司
高等数学
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2024-04-26 03:55
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对于模4余1的负奇数,通过构造适当复函数进行围道积分可以解决(注意到,这一形式与 欧拉和主定理 的结果颇为相似)
-1和1处的情况,可以通过雅可比三重积等式进行系列操作得到
模4余1的正奇数,通过eisenstein级数的函数方程可得
模4余3的正奇数,通过模形式理论对eisenstein级数降次,递推求解(再往高阶的推广,由于数论原因我并未全懂)
0的情况可以用q-psi函数表示,但不清楚有没有更简单表示。其余情况同理
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冰河小吧主的帖子里有这类级数的更多细节,他处理的是正割情况:级数竞赛也出现过ramanujan的级数:业余数学吧的吧主展示的一组级数也可由此得到,请感兴趣者自行移步
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这是第二部分,涉及内容较多,无法一一解释。大体思路是由自变量q导出雅可比theta函数,然后导出和椭圆积分的关系;再通过三重积,用椭圆积分反向导出q乘积;最后利用椭圆积分(函数)理论的特殊值,导出乘积(从而eisenstein形级数)的特殊值。
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第一部分来源:ramanujan笔记本 第二卷14章
第二部分来源:主要是下图文章
第三部分来源:完全的通法在一些数论专著中有,我并不全懂(只能解到n=9左右),先不贴来源了
小王没对象i
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♥
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这是第三部分
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稍微推广一下,最后引用的例子是pisco在级数竞赛中出的题,有关sech的级数在那帖也有
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以上问题可以系统的归结于此图中一大类问题的求解
Renascence_5
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御坂5286
流形
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日本人的那个数论II 第九章即是。
模形式可厉害了,一直想学,不过没空+基础不够学不懂,哭
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