(数列)极限的定义说,lim aₙ = a是指:任给ε>0,总存在N>0,使得当n>N时恒有|aₙ-a|<ε成立。
现在考虑这样一个问题。如果把定义修改为:lim aₙ = a是指:任给ε>0,总存在N>0,使得当n>N时恒有|aₙ-a|<e^(-ε)成立。这样可不可以呢?
今天在学校听了一堂考研课,老师提出了类似的问题,他给的答案是不可以。但我觉得应该可以。理由如下:
ε是任意给的,它可以取大于0的任何实数。而只要数列aₙ与数a的差值在某个无穷邻域内能够小于任意给定的正精度,就能体现『要多接近有多接近』、『亲密无间』的特点,就能说明极限值为a。而在这里,e^(-ε)就充当了这个『精度』的角色。私以为,只要在ε取遍所有正数的时候,精度能够取遍某个0的去心右邻域,就能体现『要多接近有多接近』的特点。这里,当ε趋于无穷大的时候,精度e^(-ε)是越来越小的,而且随着ε取遍所有正数,e^(-ε)可以取遍0的一个去心右邻域(0,1),因此数列与极限值之间的差值确实『能够小于任意(0,1)内的数』,进而『能够小于任意给定的精度』。
还是说,在数学文化里已经约定俗成ε只能表示很小、很接近0的正数?如果是这样,把ε换做t表示可不可以呢?
吧友们怎么看待这个问题呢?
现在考虑这样一个问题。如果把定义修改为:lim aₙ = a是指:任给ε>0,总存在N>0,使得当n>N时恒有|aₙ-a|<e^(-ε)成立。这样可不可以呢?
今天在学校听了一堂考研课,老师提出了类似的问题,他给的答案是不可以。但我觉得应该可以。理由如下:
ε是任意给的,它可以取大于0的任何实数。而只要数列aₙ与数a的差值在某个无穷邻域内能够小于任意给定的正精度,就能体现『要多接近有多接近』、『亲密无间』的特点,就能说明极限值为a。而在这里,e^(-ε)就充当了这个『精度』的角色。私以为,只要在ε取遍所有正数的时候,精度能够取遍某个0的去心右邻域,就能体现『要多接近有多接近』的特点。这里,当ε趋于无穷大的时候,精度e^(-ε)是越来越小的,而且随着ε取遍所有正数,e^(-ε)可以取遍0的一个去心右邻域(0,1),因此数列与极限值之间的差值确实『能够小于任意(0,1)内的数』,进而『能够小于任意给定的精度』。
还是说,在数学文化里已经约定俗成ε只能表示很小、很接近0的正数?如果是这样,把ε换做t表示可不可以呢?
吧友们怎么看待这个问题呢?