你是否留意到了生活中的正、反比例奥数知识?(六年级)
学众教育
生活中有很多正反比例的问题,他们随处可见,不知道大家发现没有。如果你1分钟内没有思考出来,那么就跟着数学加编辑看看下面的例子。
有一天早上,爸爸和明明一起去公园跑步。早上的公园热闹极了,有老人在打太极拳,有年轻人在慢跑还有小孩子在跳绳,明明特别开心。当明明跑累了休息的时候,爸爸问明明:“你的心跳的是不是特别的快?”明明点了点头。爸爸接着又问:“你觉得是什么导致了心跳加速呢?它们之间又有什么关系呢?”明明不假思索的回答:“运动”,运动越剧烈心跳的越快。爸爸高兴的点了点头。这个问题和数学课本上所学的正比例函数的内容是相通的。
小朋友,你是否听懂明明爸爸的话了呢,运动快慢和心跳速度之间到底是一个什么样的关系呢?
下面就来正式学习我们今天的奥数内容!
一、正、反比例概念
1、什么叫正比例?
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量相对应的两个数的比值(也就是商)一定,这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系叫做正比例关系,正比例的图像是一条直线。规律为:同时扩大,同时缩小,比值不变。
例如:在行程问题中,若速度一定时,则路程与时间成正比例;在工程问题中,若工作效率一定时,则工作总量与工作时间成正比例。
路程的例子:
A、速度一定,路程和时间成正比例。
B、时间一定,路程和速度成正比例。
2、什么叫反比例?
两 种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,这两种量中相对应的两个数的积一定。这两种量叫做成反比例的量。它们的关系叫做反比例关系。
例如:在行程问题中,若路程一定,则速度与时间成反比例;在做工问题中,若工作总量一定,则工作效率与工作时间成反比例。反映在除法中,当被除数一定,除数和商成反比例关系。在分数中,当分数的分子一定,分母与分数值成反比例关系。在比例 中,比的前项一定,比的后项与比值成反比例关系。如果再把总数与份数关系具体化为:在购物问题中,总价一定,单价和数量成反比例关系。在行程问题中,路程 一定,速度和时间成反比例关系.
3、正比例和反比例相同之处:
A、事物关系中都有两个变量,一个常量。
B、在两个变量中,当一个变量发生变化时,则另一个变量也随之发生变化。
C、相对应的两个变数的积或商都是一定的。
4、正、反比例问题中经常会出现“一定”这个词,“一定”指“确定的,稳定的,不会改变的”。
正比例和反比例是在学生学习了比和比例的基础上进行教学的,主要让学生结合实际情境认识成正比例和反比例的量。正比例、反比例都是表示两个相关联的变量之间关系的一种数学模型,都是在一定的条件下,一种量随着另一种量的变化而变化。
二、学习目标:
1.通过正、反比例意义的比较,使学生明确正、反比例的相同点和不同点,进一步加深学生对正、反比例的意义的认识。能够比较正确地判断成正比例的量和成反比例的量。
2.通过教学培养学生的分析比较、抽象概括和观察能力,培养他们认真学习的习惯。
三、学习难点:
1.在交流讨论中完善自己判断正、反比例关系的经验认识,掌握判断正、反比例关系的方法,形成接近自动化技能的判断策略;
2.通过数“形”结合,进一步感受和领会正、反比例关系的变化规律及特点,进一步渗透函数思想,为今后中学的学习打下基础。
四、实际题型当中的操作演练。
一、行程中的比例关系
① 速度×时间=路程;
② 路程÷速度=时间;
③ 路程÷时间=速度。
题型一、【概念认识】灰太狼和红灰太狼从狼堡去羊村,红太狼用了18分钟,灰太狼只用了12分钟,则红太狼和灰太狼的速度之比是多少?
解析:速度×时间=路程(一定);速度和时间成反比。
红太狼时间 :灰太狼时间 18 : 12=3 :2
红太狼速度 :灰太狼速度 2 : 3
答:红太狼和灰太狼的速度之比是2 : 3。
题型二、【强化练习】喜羊羊从家去学校,可以步行也可以骑车,已知骑车比步行每分钟快150米,骑车所用的时间比步行的时间要少3/5,那么问:
(1)喜羊羊骑车和步行的速度比是多少?
(2)喜羊羊每分钟步行多少米?
解析:(1)时间×速度=路程(一定)
骑车时间:步行时间 = (1-3/5)=2/5=2 :5;
骑车速度:步行速度= 5 : 2;
答:喜羊羊骑车和步行的速度比是5 : 2。
(2)由第一问可知:不妨把骑车的速度看成 5份;
步行的速度看成是 2份;
每份对应的米数是:150÷(5-2)=50(米)
步行的速度是:2×50=100(米)
答:喜羊羊每分钟步行100米。
二、工程中的比例关系
① 工作效率×工作时间=工作总量;
② 工作总量÷工作时间=工作效率;
③ 工作总量÷工作效率=工作时间。
题型一、【易错题型】喜羊羊、懒羊羊和美羊羊三人各自独立做同一件工作,效率之比为2:3:4,则三人完成的时间之比是多少?
解析:工作效率×工作时间=工作总量(一定);工作效率和工作时间成反比。
工作效率之比是:2:3 : 4
不妨把工作总量看成是 1
工作时间之比是:1/2 : 1/3 : 1/4
工作时间之比:6:4 : 3。
答:三人完成的时间之比6:4 : 3。
题型二、【强化题型】完成一项工程,甲的工作效率比乙的工作效率高2/7;单独做,甲比乙少用四天完成这项工程,请问:
(1)甲、乙单独完成这项工程的时间之比是多少?
(2)乙单独完成这项工程要用几天?
解析:(1)工作效率×工作时间=工作总量(一定);工作效率和工作时间成反比。
甲工作效率:乙工作效率=(1+2/7)=9:7
所以甲工作时间:乙工作时间=7 : 9
答:甲、乙单独完成这项工程的时间之比是7 : 9。
(2)不妨甲工作时间看成 7 份
乙的工作时间看成9 份
甲和乙之间差了 2份
甲比乙少用了4天,对应的是2份,则一分是:4÷(9-7)=2
乙的天数是:9×2=18(天)
答:乙单独完成这项工程要用18天。
三,实际生活应用
题型一、有甲、乙和丙三个齿轮,甲和乙相互咬合,乙合并相互咬合,它们的齿数比为2:3:5.请问:当乙比丙多转了20周,甲转了几周?
解析:齿轮齿数×转动周数=转过的总齿数(一定)
甲、乙、丙的齿数之比是:2:3:5 转动周数之比:1/2: 1/3 :1/5=15:10:6
一分对应的圈数是:20÷(10-6)=5(圈)
甲转了:15×5=75(圈)
答:甲转了 75 圈。
题型二、一天,乐乐拿着妈妈给她的钱去买苹果,当她到超市的时候发现,平时每斤5元的苹果,由于打折促销,变为每斤4元,于是萌萌多买了3斤苹果,请问:妈妈给了乐乐多少钱?
解析:每斤钱数×苹果斤数=妈妈给的钱数(一定)
原价每斤钱数:现价每斤钱数= 5 : 4
原价斤数:现价斤数=4 : 5
一份对应是:3÷(5-4)=3(斤)
原价可以买苹果斤数:4×3=12(斤)
妈妈给的钱数:12×5=60(元)
答:妈妈给了乐乐60元。
数学加结语:正比例和反比例的内容在实际生活当中随处可以应用到,比如我们经常见到的随着年龄的增长体重的变化,身高的变化,还有一开始运动的剧烈程度和心跳的变化的之间的关系等等。这些生活常识都是正、反比函数在实际生活当中的应用,小朋友一定要好好学习哦。
学众教育
生活中有很多正反比例的问题,他们随处可见,不知道大家发现没有。如果你1分钟内没有思考出来,那么就跟着数学加编辑看看下面的例子。
有一天早上,爸爸和明明一起去公园跑步。早上的公园热闹极了,有老人在打太极拳,有年轻人在慢跑还有小孩子在跳绳,明明特别开心。当明明跑累了休息的时候,爸爸问明明:“你的心跳的是不是特别的快?”明明点了点头。爸爸接着又问:“你觉得是什么导致了心跳加速呢?它们之间又有什么关系呢?”明明不假思索的回答:“运动”,运动越剧烈心跳的越快。爸爸高兴的点了点头。这个问题和数学课本上所学的正比例函数的内容是相通的。
小朋友,你是否听懂明明爸爸的话了呢,运动快慢和心跳速度之间到底是一个什么样的关系呢?
下面就来正式学习我们今天的奥数内容!
一、正、反比例概念
1、什么叫正比例?
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量相对应的两个数的比值(也就是商)一定,这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系叫做正比例关系,正比例的图像是一条直线。规律为:同时扩大,同时缩小,比值不变。
例如:在行程问题中,若速度一定时,则路程与时间成正比例;在工程问题中,若工作效率一定时,则工作总量与工作时间成正比例。
路程的例子:
A、速度一定,路程和时间成正比例。
B、时间一定,路程和速度成正比例。
2、什么叫反比例?
两 种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,这两种量中相对应的两个数的积一定。这两种量叫做成反比例的量。它们的关系叫做反比例关系。
例如:在行程问题中,若路程一定,则速度与时间成反比例;在做工问题中,若工作总量一定,则工作效率与工作时间成反比例。反映在除法中,当被除数一定,除数和商成反比例关系。在分数中,当分数的分子一定,分母与分数值成反比例关系。在比例 中,比的前项一定,比的后项与比值成反比例关系。如果再把总数与份数关系具体化为:在购物问题中,总价一定,单价和数量成反比例关系。在行程问题中,路程 一定,速度和时间成反比例关系.
3、正比例和反比例相同之处:
A、事物关系中都有两个变量,一个常量。
B、在两个变量中,当一个变量发生变化时,则另一个变量也随之发生变化。
C、相对应的两个变数的积或商都是一定的。
4、正、反比例问题中经常会出现“一定”这个词,“一定”指“确定的,稳定的,不会改变的”。
正比例和反比例是在学生学习了比和比例的基础上进行教学的,主要让学生结合实际情境认识成正比例和反比例的量。正比例、反比例都是表示两个相关联的变量之间关系的一种数学模型,都是在一定的条件下,一种量随着另一种量的变化而变化。
二、学习目标:
1.通过正、反比例意义的比较,使学生明确正、反比例的相同点和不同点,进一步加深学生对正、反比例的意义的认识。能够比较正确地判断成正比例的量和成反比例的量。
2.通过教学培养学生的分析比较、抽象概括和观察能力,培养他们认真学习的习惯。
三、学习难点:
1.在交流讨论中完善自己判断正、反比例关系的经验认识,掌握判断正、反比例关系的方法,形成接近自动化技能的判断策略;
2.通过数“形”结合,进一步感受和领会正、反比例关系的变化规律及特点,进一步渗透函数思想,为今后中学的学习打下基础。
四、实际题型当中的操作演练。
一、行程中的比例关系
① 速度×时间=路程;
② 路程÷速度=时间;
③ 路程÷时间=速度。
题型一、【概念认识】灰太狼和红灰太狼从狼堡去羊村,红太狼用了18分钟,灰太狼只用了12分钟,则红太狼和灰太狼的速度之比是多少?
解析:速度×时间=路程(一定);速度和时间成反比。
红太狼时间 :灰太狼时间 18 : 12=3 :2
红太狼速度 :灰太狼速度 2 : 3
答:红太狼和灰太狼的速度之比是2 : 3。
题型二、【强化练习】喜羊羊从家去学校,可以步行也可以骑车,已知骑车比步行每分钟快150米,骑车所用的时间比步行的时间要少3/5,那么问:
(1)喜羊羊骑车和步行的速度比是多少?
(2)喜羊羊每分钟步行多少米?
解析:(1)时间×速度=路程(一定)
骑车时间:步行时间 = (1-3/5)=2/5=2 :5;
骑车速度:步行速度= 5 : 2;
答:喜羊羊骑车和步行的速度比是5 : 2。
(2)由第一问可知:不妨把骑车的速度看成 5份;
步行的速度看成是 2份;
每份对应的米数是:150÷(5-2)=50(米)
步行的速度是:2×50=100(米)
答:喜羊羊每分钟步行100米。
二、工程中的比例关系
① 工作效率×工作时间=工作总量;
② 工作总量÷工作时间=工作效率;
③ 工作总量÷工作效率=工作时间。
题型一、【易错题型】喜羊羊、懒羊羊和美羊羊三人各自独立做同一件工作,效率之比为2:3:4,则三人完成的时间之比是多少?
解析:工作效率×工作时间=工作总量(一定);工作效率和工作时间成反比。
工作效率之比是:2:3 : 4
不妨把工作总量看成是 1
工作时间之比是:1/2 : 1/3 : 1/4
工作时间之比:6:4 : 3。
答:三人完成的时间之比6:4 : 3。
题型二、【强化题型】完成一项工程,甲的工作效率比乙的工作效率高2/7;单独做,甲比乙少用四天完成这项工程,请问:
(1)甲、乙单独完成这项工程的时间之比是多少?
(2)乙单独完成这项工程要用几天?
解析:(1)工作效率×工作时间=工作总量(一定);工作效率和工作时间成反比。
甲工作效率:乙工作效率=(1+2/7)=9:7
所以甲工作时间:乙工作时间=7 : 9
答:甲、乙单独完成这项工程的时间之比是7 : 9。
(2)不妨甲工作时间看成 7 份
乙的工作时间看成9 份
甲和乙之间差了 2份
甲比乙少用了4天,对应的是2份,则一分是:4÷(9-7)=2
乙的天数是:9×2=18(天)
答:乙单独完成这项工程要用18天。
三,实际生活应用
题型一、有甲、乙和丙三个齿轮,甲和乙相互咬合,乙合并相互咬合,它们的齿数比为2:3:5.请问:当乙比丙多转了20周,甲转了几周?
解析:齿轮齿数×转动周数=转过的总齿数(一定)
甲、乙、丙的齿数之比是:2:3:5 转动周数之比:1/2: 1/3 :1/5=15:10:6
一分对应的圈数是:20÷(10-6)=5(圈)
甲转了:15×5=75(圈)
答:甲转了 75 圈。
题型二、一天,乐乐拿着妈妈给她的钱去买苹果,当她到超市的时候发现,平时每斤5元的苹果,由于打折促销,变为每斤4元,于是萌萌多买了3斤苹果,请问:妈妈给了乐乐多少钱?
解析:每斤钱数×苹果斤数=妈妈给的钱数(一定)
原价每斤钱数:现价每斤钱数= 5 : 4
原价斤数:现价斤数=4 : 5
一份对应是:3÷(5-4)=3(斤)
原价可以买苹果斤数:4×3=12(斤)
妈妈给的钱数:12×5=60(元)
答:妈妈给了乐乐60元。
数学加结语:正比例和反比例的内容在实际生活当中随处可以应用到,比如我们经常见到的随着年龄的增长体重的变化,身高的变化,还有一开始运动的剧烈程度和心跳的变化的之间的关系等等。这些生活常识都是正、反比函数在实际生活当中的应用,小朋友一定要好好学习哦。