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什么是自相似分形呢?
首先要定义什么是相似。
相似是指2个点集A和B,如果存在A到B的一一映射f.使得:
(1)对于任意属于点集合A中的三个不同的点C D E以及这三个点在映射f下分别对应的三个不同的点F G H满足条件
(i)C D E如果不在一条直线上，那么F G H也不在一条直线上，并且<CDE=<FGH
(ii)如果C D E在一条直线上，并且D在C E之间，那么F G H也 在一条直线上，并且G也在F H之间
(2)存在正实数a>0使得对于任意属于点集合A的2个不同的点C D以及这2个点分别对应的2个不同的点E F,都有EF/CD=a
那么我们就说点集B与点集A相似,第二条中的a就是点集B对点集A的相似比。
自相似分形是如果非空点集A，存在点集A的非空的真子点集B，并且点集B与点集A相似，那么就说非空点集A是自相似分形。
线段就是最简单的自相似分形，因为线段就和自己内部任意一个线段相似，任意给一个点A,做一个以A为圆心1为半径的圆,再做一个以A为圆心1/2为半径的圆,再做一个以A为圆心1/4为半径的圆......持续无限下去所有圆的共同组成的图形也是一个分形，因为去掉最外面做一个以A为圆心1为半径的圆的图形和原来图形以比例为1/2相似。

分形很有趣，建议上图

分数维分形地定义比较复杂。因为它地严格定义是指维度不是整数的非空点集(从后面维度地定义可以知道一个非空点集最多只能有一个维度),这里要严格地定义维度。
需要涉及测度的概念，测度就涉及到上面说的线段公比，可以证明无论假定的长度为1的线段有多长，最后算出来的测度计算出的维度都不变。只不过对应测度和被定义长度为1的线段的长度的相应维度次方成反比。
一个有界点集M(即存在一个正数m和点B,使得点集M中任意点C都有BC<m)的测度地定义是指在某个维数d>0下说的。
首先我们定义函数f,它的定义域为非空有限点集的集合。对于任意非空有限点集A,来说f(A)是指:非空点集A中任意2个点B C距离都有相应的距离|BC|,而f(A)是指A中所有2个点B C的距离|BC|的上确界即f(A)=sup({BC|B属于A并且C属于A}).因为点集A是非空的并且有界，所以f(A)一定存在(可以证明这一点)，而且上确界是唯一的。上面的B C可以是同一个点。也就是说如果集合A只有一个点，那么f(A)=0
接下来我们对任意有界点集M再定义函数g(x,d)这里x>0,d>0.

首先对于任意有限个点集组成的集合E={C1 C2.....Cn}和实数r>0，其中这里C1 C2.....Cn都是有界点集，并且C1∪C2∪.....Cn=M,并且f(C1)<r,f(C2)<r......f(Cn)<r.我们称E为点集M地r范围-覆盖。
我们定义h(E,d)=f(C1)^d+f(C2)^d+......f(Cn)^d
这里对于有界点集M,定义g(x,d)=inf({h(E,d)|其中E是点集M的x范围覆盖})，因为M有界，所以对于任意x>0,满足条件地覆盖E是存在的,并且g(x,d)存在
现在令p(d)=lim<x→+0>g(x,d)，当然p(d)不一定存在(就是不能趋于无穷)。
这里就可以定义有界点集M的维度:集合{d|d>0并且p(d)存在即不趋于无穷}的上确界就是有界点集M的维度。
有的人说楼主你说的是什么乱七八糟的，是的，这个确实很复杂，因为数学太严密了，要用严格的数学定义分数维度太麻烦了，我也是在网络上学习看了很久才理解成为这样，当然本人水平有限，我的帖子只供参考，如果我出错，还是要大家自己去理解。

线段公比AB CD如果AB1/CD1=m/n(m和n都是自然数)即公比为有理数
其实是指存在点集B1 B2.....Bm使得B1在A和B2之间 B2在B1和B3之间......Bm-1在Bm-2和Bm之间。并且AB1=B1B2=....=Bm-1Bm,D1 D2.....Dn使得D1在C和D2之间 D2在D1和D3之间......Dn-1在Dn-2和Dn之间。并且CD1=D1D2=....=Dn-1Dn.并且ABm=CDn
如果x=AB/CD是无理数是指，
对于任意有理数y,0<y<x,都存在点P在AB之间，并且AP/CD=y,
对于任意有理数z,z>x,都存在点P使得B在AP之间，并且AP/CD=z.
希尔伯特公理和实数公理证明了对于任意点A和B以及实数x>0都存在唯一的C使得AC/AB=x,并且A不在BC之间。这里规定对于任意线段AB和点C,都有CC/AB=0即任意一个点到自己的距离都是0.还可以证明任意2个线段CD AB,CD/AB都存在并且唯一

顶顶顶

以上是枯燥的抽象的数学理论。绝大多数自相似分形都是分数维分形，但是也有特殊的，比如上面提到最简单的线段。
经常讨论的分形有很多非常美妙，有很多是靠着递归得到的。比如雪花分形，先画出一条线段，以中间的1/3为一边作出三角形删除掉中间的1/3线段，然后继续以各自线段再这么做下去，所谓雪花分形是这样的点组成的集合:经过有限次变换以后得到图形开始以后不管经过多少次变换得到的图形都包含这个点。
这种分形因为递归得到一般具备自相似性，当然如果一开始以等边三角形3个边做雪花，每个雪花不是三角形当然不具备自相似性，但是每个边都具备自相似性。
计算这种分形维度也比较简单直观，我们都知道正方形是二维的导致正方形如果边长变为原来2倍，面积变为原来的4倍，新正方形可以包含原来2²=4个正方形。
而雪花分维包含4个小的雪花，而每个小的雪花的边长是大的1/3.所以雪花的维度=ln4/ln3.
数学上分析当然会复杂多了，比如一个线段与一个康托尔集的并集的维度就是整数。所以现在还没有给分形一个严格地定义。

没图说个JB

楼主辛苦了！

好科普贴，d！！！！

再d

@北堂莫离 @张起灵7011