①爱因斯坦场方程

（协变分量形式）
这是一个二阶张量方程，每一项都有十个独立分量，一共是十个非线性二阶微分方程。但是其中包含四个恒等式，所以不能唯一确定解。因此要引入一些坐标条件。因此要引入一定的未知张量是度规张量(g)，以及与其由泛函关系确定的克里斯多夫算符(Γ)、曲率张量(R)。已知张量为能量动量张量(T)。这个方程式广义相对论的核心。它的左边是表示时空弯曲的几何量——爱因斯坦张量(G)，右边是表示物质的的存在与运动的能量动量张量(T)。广义相对论认为“物质告诉空间如何弯曲”，即引力实际上是物质存在导致空间弯曲的结果，即以上两项成正比，比例系数κ与普适常量G，c有关。
此方程也可以写成逆变分量或混合分量的形式

也可以化为如下形式

②对平直空间的微扰和线性化引力场方程
平直空间的度规张量为闵可夫斯基度规(η)。加入一个线性弱场(h)对平直空间进行微扰，即

克里斯多夫算符

闵可夫斯基度规是常量，其微分为零。忽略二次项，得

高斯曲率张量

取一四指标缩并

得到里奇曲率张量（忽略二次项）

令

则爱因斯坦场方程为

引入协和坐标条件

即

方程左侧后三项变为零

称为线性化引力场方程，解得

其中位矢r为坐标点的位矢，位矢r‘为物质(能量动量张T)的位矢。r为其距离。上式为延时解，即对r处时空产生影响的物质是时间在t的r/c之前的物质，即引力场的传递速度为光速。
如果相距很远，而且引力源体积很小，上式可化为

（加星号表示延时解）
将引力场看做以闵可夫斯基时空为背景的二阶张量场h，量子化后为一种以光速传播的零质量的引力子。
③引力波
弱场线性近似(②)下采取谐和坐标条件

里奇曲率张量可表示为

其中□为达朗贝尔算符（闵可夫斯基空时空中的拉普拉斯算符），定义为

或

真空爱因斯坦场方程化为

设其解有以下(波动的)形式

（其中k为波矢，F为振幅，均为待定系数）
将其带入方程和谐和坐标条件，得

上式第一式表示引力波沿光锥传播，即其传播速度为光速。
由量子理论有

所以用量子论的语言来说，上第一式表示引力子的静质量为零。
上第二式可化为

又令引力波朝z轴方向传播，即令

则可进一步化为

上式可具体地写作

F为极化张量，是对称张量。其十个独立分量受以上四个方程约束，仅有六个独立分量。
做坐标变换

满足：

即新旧坐标系的达朗贝尔算符一样

故使其具有以下形式

则

具体地写出六个独立分量的坐标变换

若选取

则可使坐标变换后的六个独立分量中四个为零。仅剩下与z轴垂直的分量。
即：我们总可以通过坐标变换将其他分零变为零，所以只有与z轴垂直的两个分量有物理意义。所以引力波为横波。
在空间中绕波矢（z轴）方向进行变换转动角度θ的坐标变换，有Ψ’=Ψe^isθ，则定义s为此场的螺旋度。可以证明（因水平有限在此不给出。）对于引力场有：
横场：[F11,F12,F22(h11,h12,h22)] 螺旋度为±2，可以看做为由自旋为2的虚引力子组成的。可以辐射为实引力子组成的引力波。
混合场：[F31,F32,F01,F02(h31,h32,h01,h02)] 螺旋度为±1，可以看做为由自旋为1的虚引力子组成的。不能辐射。
纵场：[F33(h33)] 螺旋度为0，可以看做为由自旋为0的虚引力子组成的。不能辐射。
类时场：[F00(h00)] 螺旋度为0，可以看做为由自旋为0的虚引力子组成的。不能辐射，相当于牛顿引力场。
总之在弱场线性近似下：
1.引力场辐射（引力波）是横场（横波），沿光锥（以光速）传播。量子化后为由自旋为2，静质量为0的实引力子组成的。
2.混合场、纵场、类时场是不能辐射的，可以通过坐标变换消除。量子化后为自旋为1或0，静质量为0的虚引力子组成的。其中类时场相当于牛顿引力场。