网页
资讯
视频
图片
知道
文库
贴吧
地图
采购
进入贴吧
全吧搜索
吧内搜索
搜贴
搜人
进吧
搜标签
日
一
二
三
四
五
六
签到排名:今日本吧第
个签到,
本吧因你更精彩,明天继续来努力!
本吧签到人数:0
一键签到
成为超级会员,使用一键签到
一键签到
本月漏签
0
次!
0
成为超级会员,赠送8张补签卡
如何使用?
点击日历上漏签日期,即可进行
补签
。
连续签到:
天 累计签到:
天
0
超级会员单次开通12个月以上,赠送连续签到卡3张
使用连续签到卡
06月04日
漏签
0
天
数学竞赛吧
关注:
130,599
贴子:
864,306
看贴
图片
吧主推荐
视频
游戏
1
2
3
4
5
下一页
尾页
97
回复贴,共
5
页
,跳到
页
确定
<<返回数学竞赛吧
>0< 加载中...
一点调和(科普水贴)
只看楼主
收藏
回复
ArrowRowe
国家队
11
该楼层疑似违规已被系统折叠
隐藏此楼
查看此楼
貌似吧里还没专谈调和的贴, 冒昧整理了下, 权作抛砖引玉... 求指正求补充!
ArrowRowe
国家队
11
该楼层疑似违规已被系统折叠
隐藏此楼
查看此楼
分四项, 内容、性质、例题、技巧. 列出提纲、主要思路, 具体细节请参阅相关书目或留待楼下补充...
ArrowRowe
国家队
11
该楼层疑似违规已被系统折叠
隐藏此楼
查看此楼
一. 内容: 调和点列、调合线束、调和四边形
1.定义
(1)调和点列
A、B、C、D顺次共线, 称A、B、C、D调和, 当且仅当AB·CD=AD·BC.
(2)调和线束
(定义<x,y>表示直线x、y的夹角, 在[0,π/2]取值.)
称共点O的4条直线a、b、c、d(顺次)为以O为中心的一个线束, 称a、b、c、d调和, 当且仅当sin<a,b>·sin<c,d>=sin<a,d>·sin<b,c>.
若A、B、C、D分别是a、b、c、d上异于O的点, 则简记为O(ABCD)调和.
(3)调和四边形
A、B、C、D顺次共圆, 称ABCD为调和四边形, 当且仅当AB·CD=AD·BC.
ArrowRowe
国家队
11
该楼层疑似违规已被系统折叠
隐藏此楼
查看此楼
2.关联
(1)线束被不过中心的直线截为调和点列, 当且仅当线束调和.
(2)线束被过中心的圆截为调和四边形, 当且仅当线束调和.
(3)点列、线束、四边形的调和性经反演不变.
ArrowRowe
国家队
11
该楼层疑似违规已被系统折叠
隐藏此楼
查看此楼
3.常见情形(以下默认顺次)
(1)线束a、b、c、d中a、b、c分别交直线l于A、B、C, 则以下三个命题中任两个可推出另一个: ①a、b、c、d调和, ②B平分CD, ③d‖l.
(2)中心为O的线束被直线截为点列A、B、C、D, 则以下四个命题中任两个可推出另两个: ①A、B、C、D调和, ②OB平分∠AOC, ③OD平分∠AOC的外角, ④OB⊥OD.
(3)点P关于二次曲线c的极线为l, 过P的直线交c、l于Q、R、S, 则P、Q、R、S按某顺序调和.
ArrowRowe
国家队
11
该楼层疑似违规已被系统折叠
隐藏此楼
查看此楼
二. 性质
1. A、B、C、D顺次共线, 设M平分AC, 以下各命题两两等价.(对称情形略去)
(1)A、B、C、D调和; (2)AB·CD=AD·BC; (3)AB·CD=(AC·BD)/2; (4)MA²=MC²=MB·MD; (5)MD·BD=AD·CD.
2. A、B、C、D顺次共圆, 设M平分AC, 以下各命题两两等价.(对称情形略去)(记圆上点X、Y间所夹圆周角为xy)
(1)ABCD为调和四边形; (2)sinab·sincd=sinad·sinbc; (2)cotab+cotcd=cotad+cotbc; (3)直线AC平分∠BMD; (4)BD为△ABC、△ACD陪位中线所在直线.
ArrowRowe
国家队
11
该楼层疑似违规已被系统折叠
隐藏此楼
查看此楼
补充关联:
(1)
记△XYZ面积为S(XYZ), 有
AB/BC=S(OAB)/S(OBC)=((1/2)·OA·OB·sinab)/((1/2)·OB·OC·sinbc)=(OA·sinab)/(OC·sinbc)
同理AD/CD=(OA·sinad)/(OC·sincd), 故(AB·CD)/(AD·BC)=(sinab·sincd)/(sinad·sinbc).
(2) 由定义及正弦定理得.
(3) ...其实也不知道这句话严谨不严谨, 不过至少, 貌似调和四边形反演仍为调和四边形可以用类似于(1)中交比不变的性质来证...
bgfbg736nt
CMO二
8
该楼层疑似违规已被系统折叠
隐藏此楼
查看此楼
马
ArrowRowe
国家队
11
该楼层疑似违规已被系统折叠
隐藏此楼
查看此楼
补充常见情形:
(1)按l交d于无穷远点理解;
(2)已知①④证②③时可以设两个夹角α、β, 转证sin(α-β)=0;
(3)一般用二次曲线为圆或双直线时的情形, 圆时结合配极原理理解, 各种相似啊角啊比例啊转化, 双直线时为完全四边形对角线调和分割定理, 基础证明考虑Menelauss和Ceva...
ArrowRowe
国家队
11
该楼层疑似违规已被系统折叠
隐藏此楼
查看此楼
补充性质:
1. 展开计算吧...
2. 结合正弦定理, 和sin(ab+cd)=sin(ad+bc), 和cot∠AMD=cotad-cotcd, 和等等...
ArrowRowe
国家队
11
该楼层疑似违规已被系统折叠
隐藏此楼
查看此楼
例题明天(可能要拖到晚上)再上... 其实笔记落在学校里了, 默写了上面一点...
有错漏大家帮忙补充哈
ForeverBell
闲人退散
1
该楼层疑似违规已被系统折叠
隐藏此楼
查看此楼
haoxiaozei
联赛二
6
该楼层疑似违规已被系统折叠
隐藏此楼
查看此楼
现在都已经讲这个了啊
什么名字都取了
闲人退散
1
该楼层疑似违规已被系统折叠
隐藏此楼
查看此楼
马
唱浮夸的影魔m
CMO金
9
该楼层疑似违规已被系统折叠
隐藏此楼
查看此楼
mark
登录百度账号
扫二维码下载贴吧客户端
下载贴吧APP
看高清直播、视频!
贴吧页面意见反馈
违规贴吧举报反馈通道
贴吧违规信息处理公示