如图，△ABC内接于定锥线Γ且外切于定锥线。 证明： i.Γ关于△ABC的等角像包络一个定锥线 ii.设切点为T，T关于△ABC的等角共轭点为S，D为⊙(ABC)和Γ的第四交点，则直线SD过一定点

如图，Γ为一条circular cubic，T是Γ的渐近线和Γ的交点，F是平面内一点，使得F对Γ的polar conic为圆。 证明： (i)若TF交Γ于另外两点X,Y，则F是XY的中点； (ii)直线TF和T的polar conic的一条渐近线垂直。

仙帝归来（80集）百度网盘终于整理好请自取 链接：https://pan.baidu.com/s/1WYTLZEN29wFnkY16ySDVSA?pwd=1234 提取码：1234 终于让我给找到了这个资源， 有需要的小伙伴下载，无需解压，没有其他套路

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一楼不翻译了

这个吧是不是凉了那就随便发一点简单的东西吧

一篇微型专题，适合刚入手几何的人看（其实这个结构我好早就看过了，前不久有人问过一个题，今天闲着整理一下发出来）（镇楼图随便找的）

设Q为平面上一点，I_Q为Q关于Q关于△ABC的Hagge圆的反演点，E为X_{3448}关于I_QX_{265}垂直平分线的对称点。 证明：Q关于四点形ABCE的QA-Cu1的极锥线(polar conic)为等轴双曲线。

给定平面上8点P_i(i=1,...,8)，每四点不共线且每七点不共二次曲线 （i）已知过P_i(i=1,...,8)的三次曲线经过第九个定点P_9.证明：P_9是可以尺规作图的并给出一种构造； （ii）若P_9使得过P_i(i=1,...,9)的三次曲线唯一。设P是任意直线上一个动点，证明存在一个尺规作图P→f(P)，使得当P在直线上运动时，f(P)遍历这条三次曲线的一个稠密子集，并给出构造。

61 氵jy

算下来lz已经近两个月没做一道几何了 水平大退步 昨天网上一位同学问了下面这样一道题目 本人正好有空尝试了一下，也算做了出来 我个人认为这道题目的处理过程挺神奇 就拿出来给大伙看看： 26.令A，B为圆ω（圆心为O）上不重合的两点且满足∠AOB在60°到120°之间。设C为AOB外心。l为过C的直线且满足l与OC夹60°角。ω在A，B处的切线分别与l交于M，N。设CAM外接圆和CBN外接圆再与ω分别交于Q，R并且互相交于P≠C，证明OP⊥QR （如果是考试题或某种原因不

擅自开一个题楼用于收集过水不适合本吧气氛的题其实也是变相水经验

已知O,H是三角形ABC的外心,垂心，Oa,Ob,Oc分别是I关于BC,CA,AB的对称点.设一条不经过X265的直线交⊙OaBC于点A_1,A_2.OaA_1,OaA_2分别交BC于X_1,X_2.类似定义Y_1,Y_2,Z_1,Z_2. 证明:(i)X_1,X_2,Y_1,Y_2,Z_1,Z_2,O共二次曲线. (ii)若点P,Q使得OP=HP,OQ=HQ,OP⊥OQ.则Q关于(i)中二次曲线的极线经过P.

此经验要留到11级水 已知f为一个等度共轭，设U,U*;Q,Q*为f的任意两对对对应点，QQ*∩UU*=T，直线QQ*交过U,Q*的外接二次曲线于点Q*,R，AR∩BC=D，QD∩AU=E，AU∩BC=U_1. 证明：当f,U给定时比值(U*T·EU_1)/(TU·AE)为定值

来一道神仙题

收录有用的平面几何引理or题目or相关的知识链接

我要成为本吧10级大水比

证明：给定一点S（≠X265），则唯一存在点P，使S是P关于P的Hagge圆的反演点

64 水题

Poncelet点 感觉这东西的结论集合太少了，那么让我来吧暂时不多涉及锥线 这玩意让qzc来补充

73 @INSANEΩ 的一道题目 △ABC的内心，垂心分别是I，H，AI与BC，BI与AC，CI与AB的交点分别是D，E，F，内切圆分别切BC，CA，AB于X，Y，Z，点M，N分别是△AYZ，△AEF的垂心，K是△ABC的费尔巴哈点，H关于K的对称点是V，求证：VI，MN和过K的△ABC内切圆的切线共点。 （by INSANEΩ，39532346 djc，吃喝睡）

好久沒來了，Buratinogigle的一個美妙的結果，感覺很漂亮就直接佔整百了

好久没来了 在三角形ABC中，P,R为一对反角共轭点，O为外心，且P,R,O共线，设Q是P关于三角形ABC的等角共轭点，Q_AQ_BQ_C为点Q关于三角形ABC的外接塞瓦三角形，H_aH_bH_c为三角形ABC的垂三角形 证明：三角形H_aH_bH_c和三角形Q_AQ_BQ_C正交

也是在学校推出来的不难 M_aM_bM_c是BC,CA,AB的中点，H,G是垂心、重心，过H的直线和Thomson曲线交于P,Q 证明：M_a,M_b,M_c,P,Q,G六点共二次曲线

一楼让给度娘

D,E,F在三角形ABC的三边上，M是任意一点。T,T_1,T_2,T_3是M,A,B,C关于DEF的orthocorrespondent，且MT,AT_1,BT_2,CT_3共点U，P是U关于三角形ABC的等角共轭点，XYZ是M关于三角形ABC的垂足三角形 证明：MP平分XYZ的欧拉线

一对等角共轭点关于一条外接二次曲线共轭，则它们的cross point在这条外接二次曲线的等角共轭像上

94 三个与正交截线相关的有趣的问题 对应网址： 网页链接 网页链接 网页链接

93 这个题初等做法好像还挺难的 先丢在这

如图，在三角形ABC中，O,K是外心和垂心，直线OK交外接圆于点S,T，设t为T关于三角形ABC的steiner线，过A,B,C作t的平行线分别交BC,CA,AB边的中垂线于点D,E,F；XYZ为ABC的反补三角形 证明：若S在t上，则DX,EY,FZ三线共点

本专题是数月前在学校无聊写的短文，与其放着不如拿出来晒晒太阳所以最近在电脑上搬了一下，内容比较少，一张图结束（）

44 不知道啥时候存的图 暂时没解决 希望难度够？（）

已知O,H是三角形ABC的一对等角共轭点，U是OH的中点，P在以U为枢点的主等角三次曲线L上。设AH,BH,CH分别交L于不同于A,B,C,H的点D,E,F；PD,PE,PF分别交BC,CA,AB于X,Y,Z 证明：AX,BY,CZ,UP四线共点

两道塞瓦圆和九点圆相切的题目 △ABC中PP’是一对塞瓦圆共轭点，对应塞瓦三角形分别为△XYZ和△X’Y’Z’，两塞瓦三角形垂心分别是H和H’。证明：△XYZ外接圆与九点圆相切当且仅当HOH’共线 原贴链接：https://tieba.baidu.com/p/6507767930 禁书预选题里有一道类似的题目 不知道是否有解答（懒得去aops上找了） 这两题看起来还是比较有趣的，就先丢这里玩

46 二潘《初等数论》记录贴 最近在看QWQ 主要收录一些自己写的习题解答 各位吧友有一起看的也可以来玩

43 禁书&2017集训队讲义 不会做 纯几何吧地址：http://tieba.baidu.com/p/6627416426?share=9105&fr=share&

(own) 设P,P*为三角形ABC的一对等角共轭点，P_AP_BP_C为P关于三角形ABC的外接塞瓦三角形，Q在平面内，直线QP_A,QP_B,QP_C分别交直线BC,CA,AB于点P_a,P_b,P_c，过A,B,C分别作PP_a,PP_b,PP_c的平行线l_a,l_b,l_c 证明：l_a,l_b,l_c三线共点R当且仅当P,Q,P*三点共线

86 LZ定理的推广

级数

直接发一般情况吧，证明还是挺简单的 P在以U为枢点的主等截三次曲线上，U'=tU,U*=gU'，U*_aU*_bU*_c是U*的垂足三角形，P_1P_2P_3是P的塞瓦三角形，则P_1P_2P_3和U*_aU*_bU*_c正交

68 水一水，顺便升个级

是看到了本吧 7 有的启发 我暂且叫他“圆内接四边形分成的四个三角形的特征点构成的四边形的熟知性质”吧。最近无聊想整理一下 也许还能推广到更多？这就得让吧里的大佬来多多补充了 再用一下7的图

79 一个三次曲线过三角形ABC的三个顶点，内心和三个旁心。问这个三次曲线是否一定是ABC的主等角三次曲线？

80 关于四边形等角中心的一堆结论